Теорема Римана о перестановках условно сходящихся рядов

Если $\sum a_{n}$ сходиться условно, то $\forall{}~A \in \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \},$ $\exists{}$ перестановка $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{*}= A$

Пусть $$a_{n}^{+} = \begin{cases} a_{n} & ,~a_{n} \geq 0 \\ 0 & ,~a_{n} < 0 \end{cases} ~~,~~~~~a_{n}^{-} = \begin{cases} |a_{n}| & ,~a_{n} < 0 \\ 0 & ,~a_{n} \geq 0 \end{cases}$$ $a_{n} = a_{n}^{+} - a_{n}^{-}$ $\sum a_{n}^{+}$ и $\sum a_{n}^{-}~-$ знакопостоянные и расходятся --- От противного. $\sum a_{n}^{+}$ сходиться $\Rightarrow \left[\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} = \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{+} - \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{-} \right] \Rightarrow \sum a_{n}^{-} ~-$ сходиться $\sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}| = \sum_{n=1}^{\infty} (a_{n}^{+} +a_{n}^{-}) = \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{+} + \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{-} \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ сходится абсолютно --- $\sum a_{n}~-сходится \Rightarrow a_{n} \to 0$ Пусть $\sum b_{n}$ и $\sum c_{n}~\mathpunct{:}~~\sum a_{n}^{+},~\sum a_{n}^{-}$ у которых нет 0 $n_{1}-min~index\mathpunct{:}~~b_{1}+b_{2}+\dots+b_{n_{1}}>A$ $m_{1}-min~index\mathpunct{:}~~b_{1}+\dots+b_{n_{1}}-c_{1}-c_{2}-\dots-c_{m_{1}}\leq A$ $n_{2}-min~index\mathpunct{:}~~b_{1}+\dots+b_{n}-c_{1}-\dots-c_{m_{1}}+b_{n_{1}+1}+\dots+b_{n_{2}} > A$ ${} m_{2}-min~index\mathpunct{:}~~b_{1}+\dots+b_{n}-c_{1}-\dots-c_{m_{1}}+b_{n_{1}+1}+\dots+b_{n_{2}}-c_{m_{1}+1}-\dots-c_{m_{2}}\leq A$ $j \in \{n_{k}+m_{k}+1,\dots,n_{k+1}+m_{k} \}$ $|S_{j}-A|\leq \max\{b_{n_{k}},c_{m_{k}}\} \to 0$ $(*)$ $j \in \{n_{k+1}+m_{k}+1,\dots,n_{k+1}+m_{k} \}$ $|S_{j}-A|\leq \max\{b_{n_{k+1}},c_{m_{k+1}}\} \to 0$ $(*)$ $(*)$ - по необходимому условию. $\square$